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Grundwissen Mathematik Klasse 10

 

Unterrichtseinheit Zentrale Klassenarbeit

 

Inhalt:

Grundwissen für die Zentrale Klassenarbeit in Mathematik.

  • Gleicher Aufbau wie die ZK
  • Beispielaufgaben
  • Erklärungen
  • Tipps
  • Formeln

 

Eine Zentrale Klassenarbeit ist immer ähnlich aufgebaut. Hier ein paar Tipps, die für euch hilfreich sein könnten.

  1. Aufgabe
  2. Aufgabe — Geometrieaufgabe
  3. Aufgabe — Wahrscheinlichkeitsaufgabe
  4. Aufgabe — Wachstumsaufgabe

 

1. Aufgabe

a) Vereinfachungsaufgabe                                                        nach oben

Beispielaufgabe:

Zu Beginn, grobe Reihenfolge der Berechnung festlegen

Merke

Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich.

Bei Brüchen ist es daher hilfreich, sich eine Klammer jeweils um den Zähler und Nenner zu denken:

 

Aus dieser Regel kann man festlegen, dass man in der Regel:

    1. Jeweils Nenner und Zähler vereinfachen muss.
    2. Jeweils den ganzen Bruch vereinfachen und wenn möglich kürzen.
    3. Die beiden Brüche in diesem Fall subtrahieren, wenn dies möglich ist. Anschließend versuchen noch einmal zu vereinfachen.

 
1. Jeweils Nenner und Zähler vereinfachen

Formel

 

Exponenten vereinfachen

  = 
 

Formel

Ausklammern: (ac + bc) = (a + b) • c

 

Ausklammern

  = 

2. Jeweils den ganzen Bruch vereinfachen und wenn möglich kürzen

Kürzen

  =    = 

 

Merke

Man darf nun bei den beiden Brüchen nicht weiter kürzen!
Es ist also falsch wenn man zum Beispiel im zweiten Bruch den Zähler b² mit dem im Nenner enthaltenen b kürzen will, da im Nenner ein Plus oder Minus steht! Man müsste davor erst ausklammern können!

3. Die beiden Brüche in diesem Fall subtrahieren, wenn dies möglich ist

Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren von Brüchen

  Addieren Subtrahieren
Bei gleichen Nennern   +  =    =
Bei verschiedenen
Nennern
  +  =   –  =
Insbesondere  a +  =  +  =  a –  =  –  =
   
Multiplizieren
 
Dividieren
   •  =  :  =

 

 

Subtrahieren

  =  

Um zu sehen ob man noch einmal vereinfachen kann, sollte man die binomischen Formeln immer im Hinterkopf haben!

Formeln

Damit du binomische Formeln schnell erkennen kannst, sollst du die drei folgenden Spezialfälle auswendig lernen:

1. binomische Formel: ( a + b )² =  a² + 2ab + b²
2. binomische Formel: ( a – b )² =  a² – 2ab + b²
3. binomische Formel: ( a + b ) • ( a - b ) =  a² – b²

 

3. Binomische Formel

   =    =    =  a² – b
 

Merke

Wenn man beim Vereinfachen nicht mehr weiter kommt, hilft es oft, den Nenner näher zu betrachten. So versucht man im Beispiel oben, den Bruch um den Wert a² + b zu vereinfachen.

 

b) Gleichungsaufgabe oder Logarithmusaufgabe

1. Gleichungsaufgabe                                                              nach oben

Beispielaufgabe:  = 6

Ausschreiben

 +  = 6
 • +  = 6

 

Merke

Bei Gleichungen dieser Art kommt man schnell darauf, dass man nicht weiterrechnen kann. (Wenn anstatt der 6 eine 0 stehen würde, könnte man die Gleichung einfach ausrechnen).
Man muss hier also wissen, dass man substituieren muss.

Beim Substituieren ist die Reihenfolge eigentlich immer gleich:

  1. Substituieren

  2. Mitternachtsformel

  3. Resubstituieren (das vergisst man sehr häufig!)

1. Substituieren

  • +  = 6           u =

 u • u + u = 6
 → u² + u = 6

 

Mitternachtsformel

 

2. Mitternachtsformel

u² + u = 6

(a) (b) (c)  
 u²   +    u   –  6 = 0

        a = 1
        b = 1
        c = –6

  

   =  2

   =  -3

 

Merke

Bei der Erkennung von a, b und c muss man besonders auf die Vorzeichen achten! Auch bei der Mitternachtsformel selbst wird oft ein Vorzeichen weggelassen!
Außerdem sollte man sich vergewissern, ob man die Wurzel gezogen hat!

 

3. Resubstituieren

 = 2 

 =     →   2 =

log 2  =  log
log 2  =  x • log 3

   =  x

 = -3

=    →   -3 = 

log -3  =  log
log -3  =  x • log 3

log -3  :  log 3   x      | log -3 geht nicht

L = {  }

 

2. Logarithmusaufgabe                                                            nach oben

Beispielaufgabe:  2(2 • ) – (7a) + (7/4)

Formel

 ( u • v) = (u) + (v)

 (u / v)  = (u) – (v)

 ()  =  p • (u)

 

Aufgabe / Lösung

2(2 • ) – (7a)  +  (7/4)

1. Schritt: Alle Zahlen vor dem log sollen verschwinden
= (2 • )²  – (7a) + (7/4)

2. Schritt: Alle Hochzahlen sollen verschwinden
= (4 • a) – (7a) + (7/4)

3. Schritt: Alles ausschreiben
4 + a – 7 – a + 7 – 4

4. Schritt: Zusammenfassen
= 0

 

Merke

– log7  =  log(7)-¹  =  log(1/7)  =  log1 – log7

Man sieht, dass es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, einen Logarithmus zu schreiben. Diese Umschreibung hilft bei der Beispielaufgabe im 3. Schritt. Bei dieser Aufgabe wird nämlich häufig ein Fehler mit dem Vorzeichen gemacht!

 

c) Potenzfunktionen oder Textaufgabe

1. Potenzfunktionen                                                                nach oben

 Gerader Exponent Ungerader Exponent 
f(x) = 2 • x² f(x) = 2 • x³

 

f(x) = -2 • x² f(x) = -2  • x³

f(x) = 2 • f(x) = 2 • 
   
f(x) = -2 •  f(x) = -2 • 
   

Merke

f(x) = c •

Wenn...

...n positiv ist - Parabel

...n negativ ist - Hyperbel

...n gerade ist - Parabel/Hyperbel im 1. und 2. Quadranten oder im 3. und 4.

...n ungerade ist - Parabel/Hyperbel im 1. und 3. Quadranten oder im 2. und 4.

...c positiv ist - ein Bogenteil auf jeden Fall im 1. Quadranten

...c negativ ist - die Funktion mit c positiv an der x-Achse spiegeln

 

2. Textaufgabe                                                                       nach oben

Aufgabe / Lösung

Bei Erkrankungen der Atemwege verwendet man auch Dosier-Sprays, bei denen mit jedem Sprühstoß dieselbe Menge Wirkstoff abgegeben wird.
Eine solche Spraydose enthält eine Lösung mit 5,0 •  g Wirkstoff.
Der Inhalt reicht für 400 Sprühstöße.

Wie viel Gramm Wirkstoff sind in einem Sprühstoß enthalten?

Wie viel Gramm Wirkstoff sind in einem Sprühstoß enthalten?

Gegeben:

  • Gewicht der Spraydose = 5,0 •  g
  • 1 Spraydose = 400 Sprühstöße

Gesucht:

  • Gewicht von 1 Sprühstoß → Ergebnis muss eine Gewichtseinheit haben

Rechnung:

 = 0,000125

Antwort:
Es sind 0,000125 Gramm in einem Sprühstoß enthalten.

Bei jedem Sprühstoß werden 3,4 •  Wirkstoffpartikel freigesetzt. Welche Masse hat ein derartiges Partikel?

Gegeben:

  • Gewicht eines Sprühstoßes = 0,000125g
  • 1 Sprühstoß = 3,4 •  Wirkstoffpartikel

Gesucht:

  • Gewicht eines Wirkstoffpartikels

Rechnung:

 ≈ 3,68 •

Antwort:
Ein Wirkstoffpartikel hat die Masse 3,68 • g .


2. Geometrieaufgabe                                                              nach oben

Ein zylinderförmiger, beidseitig ungespitzter Bleistift hat die Länge  l = 17,0 cm.
Die Mine hat einen Durchmesser von d = 2,0 mm. Sie ist in ein Holz eingefasst, das die Wandstärke w = 2,5 mm besitzt. (Skizze nicht maßstabsgetreu.)

Formel

 = Grundseite • Höhe

             = ∏ • r² • h

 

 

Aufgabe / Lösung

Wie groß ist das Volumen des Holzes, das die Mine umschließt?

VHolz  =  VBleistift – VMine

Gegeben:

  • hBleistift  =  17 cm  =  170 mm
  • rBleistift  =  1 mm + 2,5 mm  =  3,5 mm
  • hMine  = 170 mm
  • rMine  =  d/2  = 2mm/2  = 1 mm

Gesucht: Volumen des Holzes

Rechnung:
VHolz = ∏ • (3,5mm)² • 170mm  –  ∏ • (1mm)² • 170mm
VHolz = 6542,37 mm³ – 534,07 mm³
VHolz ≈ 6008,3 mm³
VHolz ≈ 6,01 cm³

Antwort:
Das Volumen des Holzes beträgt ca. 6,01 cm³.

 

Formel - Strahlensatz

 

 =

Umformung:  • c’  =  A

 

 

Merke

Strahlensätze sind zum Weiterrechnen sehr hilfreich, da man dabei oftmals eine Variable verschwinden lassen kann.
Bei Aufgaben mit einem Kegel muss man in der Regel einen Strahlensatz anwenden!

 

Aufgabe / Lösung

Mit einem Spitzer wird der Bleistift auf einer Seite kegelförmig angespitzt. Die Höhe dieses Kegels ist h1. Damit die Mine nicht so leicht abbricht, darf ihre Spitze nur h2 = 5,0 mm aus dem Holz herausragen.

Welche Länge s hat das Messer dieses Spitzers mindestens?

Gegeben:
r1 = 3,5 mm
r2 = 1 mm
h2 = 5,0 mm

Gesucht: Zuerst h1 um s ausrechnen zu können

Rechnung:
 =

 =

17,5 = h1

Nun kann man durch den Satz des Pythagoras s ausrechnen...
 

 

Formel

 

 

Satz des Pythagoras:

a² + b²  =  c²

c² – b²  =  a²

 

Merke

Beim Satz des Pythagoras ist es wichtig zum Schluss die Wurzel zu ziehen!
Außerdem muss man das beachten:

Falsch!!!   a² + b²  (a + b)²

Denn: (a +b)² = a² + ab + b² (Binomi 1)

 

Lösung

Gegeben:

  • r1 = 3,5 mm
  • h1 = 17,5 mm

Gesucht: s

Rechnung:
 = s1

 = s1

  ≈  17,8  ≈  s1

Antwort:
Die Länge s des Messer dieses Spitzers ist mindestens 17,8 mm lang.

 

Formel

Prozentsatz • Grundwert = Prozentwert

 

Merke

40%  =  40 : 100  =  0,4

1%  =  1 : 100  = 0,01

Oft wird eine 0 oder anderes vergessen. Dies führt zu völlig falschen Ergebnissen!

 

Aufgabe / Lösung

Nach mehrmaligem Spitzen sind vom Gesamtvolumen des ungespitzten Stiftes noch 20% übrig. Welche Gesamtlänge besitzt der Stift jetzt, wenn h1 = 17,5 mm ist?

Gegeben:

  • VGesamt = 6542,37 mm³ (siehe oben)
  • VGespitzt = 0,2 • VGesamt

Gesucht: Zuerst VGespitzt, um die Gesamtlänge ausrechnen zu können

Rechnung:
VGespitzt =  0,2 • 6542,37 mm³  ≈  1308,47 mm³

Nun kann man diese Gleichung aufstellen:
VGespitzt = VKegel + VZylinder
bzw. VGespitzt = 1/3 • ∏ • r1² • h1 + ∏ • r1² • h3

Alle gegebenen Werte eintragen...
1308,47  =  1/3 • ∏ • 3,5² • 17,5  +  ∏ • 3,5² • h3
1308,47  =  224,49  +  ∏ • 3,5² • h3   | Zusammenfassen
1083,98  =  ∏ • 3,5² • h3                   | - 224,49
28,17mm = h3                                   | : ∏   | : 3,5²

Gesamtlänge  =  28,17 mm + 17,5 mm  ≈ 45,7 mm  ≈  4,57 cm

Antwort:
Die Gesamtlänge des Stiftes beträgt jetzt ca. 4,57 cm.

 

3. Wahrscheinlichkeitsaufgabe                                               nach oben

Bei einer Münze ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach einem Wurf Wappen zeigt, nur 30%. Da sie sehr dick ist, kann sie auch auf dem Rand stehen bleiben. Dies kommt in 10% aller Fälle vor.

Merke

Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die zum Ereignis A gehören.

Vereinfacht ausgedrückt an einem Würfelbeispiel:
P("Würfeln einer geraden Zahl") = {2;4;6}
P("Würfeln einer geraden Zahl") = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5 = 50%

Bei den Bezeichnungen "höchstens" und "mindestens" sollte man immer darauf achten, ob es nicht besser ist, mit einem Gegenereignis zu rechnen.

 

Aufgabe / Lösung

Die Münze wird zweimal nacheinander geworfen. Gib für die möglichen Ereignisse die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an.wappen

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A: Es erscheint höchstens einmal Zahl.
B: In keinem der beiden Würfe bleibt die Münze auf dem Rand stehen.
C: A und B tritt gleichzeitig ein.

A: Es erscheint höchstens einmal Zahl.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen

zahl

s = {WW; WR; WZ; RW; RR; RZ; ZW; ZR; ZZ}

 
2. Schritt: Nach Signalwörter wie höchstens/mindestens suchen und wenn nötig ein Gegenereignis aufstellen.

Das Gegenereignis : Es erscheint zweimal Zahl.

3. Schritt: Rechnung
P(A)  =  1 – P()  =  1 – 0,6 • 0,6  =  1 – 0,36  =  0,64  =  64%

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 64%, dass höchstens 1mal Zahl erscheint.

 

B: In keinem der beiden Würfe bleibt die Münze auf dem Rand stehen.

P(B)  =  (KR)²  =  0,9²  =  0,81  =  81%

 

Mit der Wahrscheinlichkeit von 81% bleibt die Münze bei keinem der beiden Würfe auf dem Rand stehen.

 

Formel

Beschreibung

Kurzschreibweise

Mengenbild

A und B tritt ein,
wenn sowohl A
als auch B eintreten.
 B  
A oder B tritt ein,
wenn mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt.
 A  B  

 

Lösung

C: A und B tritt gleichzeitig ein.


P(A)  =  alle außer ZZ
P(B)  =  WZ; WW; ZW; ZZ

 
Die Schnittmenge von A und B ist also:
P(C)  =  P(A)  P(B)  =  P(B) – ZZ  =  0,81 – 0,36  =  0,45  =  45%

 

Formel

Zu n unterscheidbaren Elementen gibt es n • (n – 1) • (n – 2) • 1 = n! verschiedene Möglichkeiten, diese n Elemente in einer Reihe anzuordnen.

Beispiel: Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn ein Junge, ein Mann, eine Frau und ein Mädchen in einer Schlange stehen?

4 • (4-1) • (4-2) • (4-3) = n!
4 • 3 • 2 • 1 = n!
24 = n!

In diesem Fall gibt es 24 Möglichkeiten wie sie sich in einer Schlange aufstellen können.

 

Aufgabe / Lösung


Die Münze wird nun dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass dabei einmal Wappen, einmal Zahl erscheint und die Münze einmal auf dem Rand stehen bleibt?

Insgesamt gibt es 3! = 3 • 2 • 1 = 6 Möglichkeiten die drei Ereignisse W, Z und R anzuordnen. Also gibt es auch 6 mögliche Pfade die der Anforderung entsprechen.

1 Pfad: Wappen • Zahl • Rand = 0,1 • 0,3 • 0,6

Wahrscheinlichkeit: P(WZR) = 6 • (0,1 • 0,3 • 0,6) = 0,108

 

4. Wachstumsaufgabe                                                            nach oben

Formel

Exponentielles Wachstum:

B(t)

= B(0) •
Beschränktes Wachstum: B(t + 1) = B(t) + k • (S – B(t))  
Logistisches Wachstum: B(t + 1) = B(t) + k • B(t) • (S – B(t))  

 

Merke

Bei Rechnungen mit Wachstum sollte man immer zuerst schauen was gegeben und was gesucht ist. Dies sollte man auch kurz aufschreiben. So kann man kleine Fehler oft vermeiden!
Außerdem kann es auch sein, dass man das Wachstum selbst feststellen muss. Das richtige Wachstum findet man oftmals durch logisches Denken!

 

Merke

Exponentielles Wachstum:

Exponentielles Wachstums wird verwendet, wenn sich der Bestand pro Zeiteinheit um einen festen Prozentsatz verändert.
Einfaches Beispiel: Zinseszins
Das Geld wird nicht linear mehr, sondern auf Dauer erhält man ja zusätzlich noch die Zinsen der Zinsen...

Beim Exponentiellen Wachstum muss man beachten, dass wenn z.B. 30 % Wachstum angegeben sind, dass man erkennt, dass a = 1,3 ist!!
Ebenso wenn man einen Zerfall von 30% hat, ist a = 0,7 und nicht 0,3!!

 

Aufgabe / Lösung

Für eine Langzeitstudie werden in ein abgegrenztes Versuchsgelände 50 Mäuse ausgesetzt.Maus
a) Erfahrungsgemäß verdoppelt sich bei dieser Mäuseart unter optimalen Bedingungen die Zahl der Mäuse alle 9 Monate.

Um wie viel Prozent ändert sich die Anzahl der Mäuse in einem Monat unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums?
Nach welcher Zeit wären es 1000 Tiere?

Gegeben:
B(0) = 50 Mäuse;   Verdoppelungszeit Tv = 9 Monate;   B(t) = 100 Mäuse

Gesucht:
Prozentuale Vermehrung in einem Monat. Man kann aber zuerst nur die prozentuale Vermehrung in 9 Monaten berechnen.

Rechnung
B(9)  =  B(0) •

100  =  50 •      ⇒     2  =       ⇒      = a

Nun hat man die prozentuale Vermehrung für die Mäuse in 9 Monaten, man will aber wissen wie sie sich in einem Monat prozentual vermehren...

 

Merke

Wie man von der Zeitspanne von mehreren Monaten auf die eines Monats kommt:

Man nimmt einen beliebigen Monat B(t), in dem die Mäuse sich befinden. Dieser hat sagen wir einmal 70 Mäuse.
Nun nimmt man einfach den nächsten Monat B(t+1).
Dieser Monat hat also 70 Mäuse + die vermehrten Mäuse.

Wir müssen also nur diese beiden Monate voneinander abziehen, damit wir die Mäusezahl haben die sich vermehrt hat. (B(t+1) – B(t))

Zum Schluss muss man schließlich noch die vermehrte Mäusezahl (Prozentwert) durch die gesamte Mäuse Zahl (Grundwert) teilen, um den Prozentsatz zu erhalten.

 

 

Lösung

...Prozentuale Änderung in einem Monat:

Gegeben:
B(t+1) = B(0) •
B(t)     = B(0) •

Rechnung:
   | ausschreiben

 =  | ausklammern

 =   | kürzen

=  =  – 1 ≈ 0,08

Antwort: Um ca. 8% ändert sich die Anzahl der Mäuse in einem Monat.

Nach welcher Zeit wären es 1000 Tiere?
Gegeben: a = 1,08;   B(0) = 50 Mäuse;   B(t) = 1000 Mäuse
Gesucht: t (Zeitspanne, in der sie sich von 50 auf 1000 vermehren)
Formel: B(t) = B(0) •

1000

=

50 •

20

=

log(20)

=

t • log(1,08)

log(20): log(1,08) =

t

39

t

Antwort: Nach ca. 39 Monaten wären es 1000 Tiere.

 

Merke

Logistisches Wachstum:

SchrankeBei einem logistisches Wachstum wird ein bestimmter Sättigungswert S nicht überschritten. Man kann sich dies auch als eine Schranke vorstellen.

Logistisches Wachstum ist zu beginn ähnlich wie exponentielles Wachstum und gegen Ende ähnlich wie beschränktes Wachstum aufgebaut.

Einfaches Beispiel: Virus
Am Anfang verbeitet sich der Virus langsam aber immer schneller, da noch wenige Leute betroffen sind. Gegen Ende verlangsamt sich die Verbreitung dann wieder, da nur noch wenige Leute unbetroffen sind und infiziert werden können.

Bei logistisches Wachstum muss man beachten, dass man den Bestand B(t+1) in einer Zeitspanne nach der anderen ausrechnen muss!

 

Aufgabe / Lösung

Eine Zählung ergibt, dass dort nach einem Jahr 120 Mäuse leben.
Ein Fachmann erklärt, dass auf einem Gelände dieser Größe wegen des begrenzten Platzes maximal 1000 Mäuse leben könnten.
Er vermutet deshalb für die Zahl der Tiere ein logistisches Wachstum nach dem Gesetz B(t+1) = B(t) + k • B(t) • (S – B(t)), t in Jahren.

Wie viele Tiere würden nach dieser Vermutung am Ende des zweiten und dritten Jahres auf dem Versuchsgelände zu erwarten sein?

Gegeben: B(0) = 50 Mäuse;     B(1) = 120 Mäuse;     S = 1000 Mäuse
Gesucht: B(2); B(3); Man benötigt aber als erstes k

Formel: B(1) = B(0) + k • B(0) • (S – B(0))
► einsetzen um k zu berechnen:
120 = 50 + k • 50 • (1000 – 50)
70 = k • 50 • 950
70 = k • 47500
70 : 47500 = k
 = k

B(2) = B(1) + k • B(1) • (S – B(1))
B(2) = 120 +  • 120 • (1000 – 120)
B(2) ≈ 276

B(3) = 276 + • 276 • (1000 – 276)
B(3) ≈ 570

Antwort: Am Ende des zweiten Jahres sind 276 Mäuse und am Ende des dritten Jahres sind 570 Mäuse zu erwarten.

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