Lineare (Un-)Gleichungen

Gleichungen

Merke Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addiert (subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit der selben Zahl von Null verschiedenen Zahl multipliziert (dividiert). Solche Umformungen sind Äquivalenzumformungen.

Beispiel

5 – 0,5x	=	3 + 0,75x	| + 0,5x (Ziel: alle x auf eine Seite der Gleichung)
5 – 0,5x + 0,5x	=	3 + 0,75x + 0,5x	| zusammenfassen
5	=	3 + 1,25x	| – 3 (Ziel: nur 1,25x soll auf einer Seite stehen)
5 – 3	=	3 – 3 + 1,25x	| zusammenfassen
2	=	1,25x	| : 1,25 (Ziel: es steht dann die Zahl = x)
2 : 1,25	=	1,25x : 1,25	| zusammenfassen
1,6	=	x	| Ergebnis

Vorgehensweise

1. Vereinfache beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich (d.h. Klammern auflösen, zusammenfassen).

2. Bringe bei linearen Gleichungen alle x-Glieder auf die eine Seite und alle Nicht-x-Glieder auf die andere.

3. Fasse zusammen und dividiere bzw. multipliziere.

Ungleichungen

Merke Ungleichungen löst man genauso wie Gleichungen. Ausnahme: Das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt, wenn auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert (dividiert) wird.

Beispiel

–5x	>	2	| : –5 (Das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt)
–5x : –5	<	2 : –5	| zusammenfassen
x :	<		| Ergebnis